Statistikrechner

Mittelwert, Median, Modus, Spannweite, Standardabweichung und Quartile einer Zahlenreihe

Ergebnis

Mittelwert: 6,777778; aus 9 Werten

Median: 5

Standardabweichung s: 5,696002; Stichprobe

Lage

Anzahl n: 9
Summe: 61
Arithmetisches Mittel: 6,777778
Median: 5
Modus: 4 (je 3-mal)
Geometrisches Mittel: 5,448803
Harmonisches Mittel: 4,611631

Streuung

Minimum: 2
Maximum: 21
Spannweite: 19
Varianz s² (Stichprobe, ÷ n − 1): 32,444444
Standardabweichung s (Stichprobe): 5,696002
Varianz σ² (Grundgesamtheit, ÷ n): 28,839506
Standardabweichung σ (Grundgesamtheit): 5,370243
Unteres Quartil Q1: 4
Oberes Quartil Q3: 7
Interquartilsabstand IQR: 3

Boxplot

Kasten von Q1 bis Q3 mit Median, Antennen bis 1,5 · IQR, Punkte sind Ausreißer.

Sortiert

2; 4; 4; 4; 5; 5; 7; 9; 21

Rechenweg

Rechenweg anzeigen

Summe der 9 Werte:

Σx = 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 + 21 = 61

Arithmetisches Mittel: Summe geteilt durch die Anzahl.
```
x̄ = 61 / 9 = 6,777778
```
Median: Bei 9 sortierten Werten ist es der mittlere, der 5. Wert.
```
Median = 5
```

Quadrierte Abweichungen vom Mittelwert aufsummieren:

Σ(x − x̄)² = (2 − 6,777778)² + (4 − 6,777778)² + (4 − 6,777778)² + (4 − 6,777778)² + (5 − 6,777778)² + … + (9 − 6,777778)² + (21 − 6,777778)² = 259,555556

Varianz und Standardabweichung: für eine Stichprobe durch n − 1 teilen, für die Grundgesamtheit durch n. Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz.
```
s² = 259,555556 / 8 = 32,444444   s = 5,696002
σ² = 259,555556 / 9 = 28,839506   σ = 5,370243
```
Quartile mit linearer Interpolation zwischen den sortierten Werten (wie QUANTIL.INKL in Tabellenkalkulationen):
```
Q1: (n − 1) · 0,25 = 2 → 3. Wert = 4
Q3: (n − 1) · 0,75 = 6 → 7. Wert = 7
IQR = Q3 − Q1 = 3
```

So wird gerechnet

Mittelwert x̄ = Σx / n. Median: der mittlere Wert der sortierten Reihe (bei gerader Anzahl der Durchschnitt der beiden mittleren). Modus: der häufigste Wert; kommen mehrere gleich oft vor, werden alle genannt, kommt jeder nur einmal vor, gibt es keinen.

Varianz: mittlere quadrierte Abweichung vom Mittelwert. Beschreiben die Werte eine Stichprobe aus einer größeren Menge, teilt man durch n − 1 (s², s); sind es alle Werte der Grundgesamtheit, durch n (σ², σ). Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz.

Quartile nach Methode 7 (lineare Interpolation, wie QUANTIL.INKL in Excel und LibreOffice): Position (n − 1) · p in der sortierten Reihe, zwischen zwei Werten anteilig. Andere Verfahren (etwa Median der unteren und oberen Hälfte) können leicht abweichen. IQR = Q3 − Q1.

Geometrisches Mittel ⁿ√(x₁ · x₂ · … · xₙ), z. B. für Wachstumsraten; harmonisches Mittel n / Σ(1/x), z. B. für Durchschnittsgeschwindigkeiten. Beide nur für positive Werte.