Gleichungslöser

Lineare und quadratische Gleichungen sowie Gleichungssysteme mit Rechenweg

Art der Gleichung

LinearQuadratisch2 × 23 × 3

Lösung

x₁: -1

x₂: 3

Diskriminante D = b² − 4ac: 16
Anzahl reeller Lösungen: 2 (D > 0)
Scheitelpunkt: S(1 | -4)
Parabel geöffnet nach: oben (a > 0)

Graph von y = x² − 2x − 3 mit Nullstellen und Scheitelpunkt S

Rechenweg

Rechenweg anzeigen

Die Gleichung in Normalform:
```
x² − 2x − 3 = 0
```
Vor x² steht schon 1:
```
p = -2, q = -3
```
p-q-Formel: x = −p/2 ± √((p/2)² − q). Zuerst der Wert unter der Wurzel:
```
(p/2)² − q = (-1)² − (-3) = 1 − (-3) = 4
```

Der Wert ist positiv: zwei Lösungen.

x = 1 ± √4 = 1 ± 2
x₁ = -1
x₂ = 3

Scheitelpunkt der Parabel y = ax² + bx + c:

xₛ = −b / (2a) = 1
yₛ = c − b² / (4a) = -4
S(1 | -4), Scheitelpunktform y = 1(x − 1)² − 4

Linearfaktorzerlegung:
```
x² − 2x − 3 = (x + 1)(x − 3)
```

So wird gerechnet

Linear: a·x + b = c wird nach x umgestellt: x = (c − b) ÷ a. Bei a = 0 gibt es keine oder unendlich viele Lösungen.

Quadratisch: Die Diskriminante D = b² − 4ac entscheidet: D > 0 zwei Lösungen, D = 0 eine doppelte, D < 0 keine reelle (aber zwei komplexe). abc-Formel (Mitternachtsformel): x = (−b ± √D) / (2a). p-q-Formel nach Teilen durch a: x = −p/2 ± √((p/2)² − q) mit p = b/a und q = c/a. Beide liefern dasselbe. Der Scheitelpunkt liegt bei xₛ = −b/(2a), yₛ = c − b²/(4a).

Gleichungssysteme: Das Gauß-Verfahren bringt die Koeffizienten durch Zeilenumformungen (Vielfache einer Zeile von einer anderen abziehen, Zeilen tauschen) in Stufenform. Dann wird von unten nach oben eingesetzt. Eine Zeile 0 = k (k ≠ 0) heißt keine Lösung, eine Zeile 0 = 0 heißt unendlich viele. Gerechnet wird exakt mit Brüchen; quadratische Gleichungen mit Gleitkommazahlen, gerundet angezeigt.