Kombinatorik

Fakultät, Permutationen, Variationen und Kombinationen (n über k)

Übersicht

Anzahl der Möglichkeiten je Fall
Fall	Formel	Möglichkeiten
Permutationalle n anordnen	n!	≈ 6,083 · 10⁶²
Variation ohne WiederholungReihenfolge wichtig, ohne Zurücklegen	n! / (n − k)!	10.068.347.520
Variation mit WiederholungReihenfolge wichtig, mit Zurücklegen	nᵏ	13.841.287.201
Kombination ohne WiederholungReihenfolge egal, ohne Zurücklegen	n! / (k! · (n − k)!)	13.983.816
Kombination mit WiederholungReihenfolge egal, mit Zurücklegen	(n + k − 1)! / (k! · (n − 1)!)	25.827.165

Genauer Wert

Fall

Kombination ohne Wiederholung: 13.983.816; 8 Stellen

13.983.816

Wahrscheinlichkeit

Bei 6 aus 49 ohne Zurücklegen, 6 Zahlen getippt

Alle richtig: 1 : 13.983.816; 7,151 · 10⁻⁶ %

Wahrscheinlichkeit für genau r Treffer
Treffer	Möglichkeiten	Chance 1 zu	Prozent
genau 6	1	13.983.816	7,151 · 10⁻⁶ %
genau 5	258	54.200,8	0,001845 %
genau 4	13.545	1.032,4	0,096862 %
genau 3	246.820	56,7	1,76504 %
genau 2	1.851.150	7,6	13,237803 %
genau 1	5.775.588	2,4	41,301945 %
genau 0	6.096.454	2,3	43,596498 %

Rechenweg

Rechenweg anzeigen

Permutation: alle 49 Elemente anordnen.

49! = 49 · 48 · 47 · … · 1 = ≈ 6,083 · 10⁶²

Variation ohne Wiederholung: Für die erste Stelle gibt es 49 Möglichkeiten, für die zweite 48 und so weiter, 6-mal.
```
49! / 43! = 49 · 48 · 47 · 46 · 45 · 44 = 10.068.347.520
```
Variation mit Wiederholung: An jeder der 6 Stellen gibt es wieder 49 Möglichkeiten.
```
49⁶ = 13.841.287.201
```
Kombination ohne Wiederholung („49 über 6“): die Variationen durch die 6! Reihenfolgen derselben Auswahl teilen.
```
(49 über 6) = (49 · 48 · 47 · 46 · 45 · 44) / (6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1) = 10.068.347.520 / 720 = 13.983.816
```
Kombination mit Wiederholung: wie „n + k − 1 über k“.
```
(54 über 6) = 25.827.165
```
Wahrscheinlichkeit für genau 5 Treffer: richtige aus den 6 gezogenen mal falsche aus den 43 übrigen, geteilt durch alle Möglichkeiten.
```
(6 über 5) · (43 über 1) / (49 über 6) = 258 / 13.983.816 = 0,001845 %
```

So wird gerechnet

Zwei Fragen entscheiden den Fall: Ist die Reihenfolge wichtig? Darf ein Element mehrfach vorkommen?

Permutation: alle n Elemente anordnen, n! = 1 · 2 · … · n. Sind Elemente gleich, teilt man durch die Fakultäten der Gruppen: n! / (k₁! · k₂! · …). Variation (Reihenfolge wichtig): ohne Wiederholung n! / (n − k)!, mit Wiederholung nᵏ (z. B. ein PIN mit 4 Ziffern: 10⁴). Kombination (Reihenfolge egal): ohne Wiederholung „n über k“ = n! / (k! · (n − k)!), mit Wiederholung (n + k − 1 über k).

Die Wahrscheinlichkeit für genau r Treffer bei k aus n ist (k über r) · (n − k über k − r) / (n über k), die hypergeometrische Verteilung. Beim Lotto 6 aus 49 gibt es 13.983.816 Tippreihen, ohne Superzahl ist die Chance auf sechs Richtige also 1 : 13.983.816. Alle Werte sind exakt (BigInt); sehr große zusätzlich in Zehnerpotenzen.