Dreiecksrechner

Fehlende Seiten und Winkel, Pythagoras, Fläche und Umfang eines Dreiecks

Drei Seiten sind bekannt.

Ergebnis

spitzwinklig

unregelmäßig

Fläche: 14,6969

Umfang: 18

Seiten, gegenüberliegende Winkel und Höhen
Ecke	Seite	Winkel	Höhe
A	a = 5	α = 44,4153°	hₐ = 5,8788
B	b = 6	β = 57,1217°	h_b = 4,899
C	c = 7	γ = 78,463°	h_c = 4,1991

Inkreisradius r: 1,633
Umkreisradius R: 3,5722

Maßstäbliche Skizze

Rechenweg

Rechenweg anzeigen

Dreiecksungleichung erfüllt: Jede Seite ist kürzer als die beiden anderen zusammen.
Kosinussatz nach dem Winkel umgestellt: cos α = (b² + c² − a²) / (2bc).
```
cos α = (6² + 7² − 5²) / (2 · 6 · 7) = 0,7143
α = 44,4153°
```

Ebenso für β: cos β = (a² + c² − b²) / (2ac).

cos β = (5² + 7² − 6²) / (2 · 5 · 7) = 0,5429
β = 57,1217°

Winkelsumme im Dreieck ist 180°:

γ = 180° − 44,4153° − 57,1217° = 78,463°

Fläche aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel:

A = ½ · b · c · sin α = ½ · 6 · 7 · sin 44,4153° = 14,6969

Umfang:
```
u = a + b + c = 5 + 6 + 7 = 18
```

Höhen über die Fläche (A = ½ · Seite · Höhe):

hₐ = 2A / a = 5,8788
h_b = 2A / b = 4,899
h_c = 2A / c = 4,1991

So wird gerechnet

Bezeichnung: Die Seite a liegt der Ecke A mit dem Winkel α gegenüber, b gegenüber B (β), c gegenüber C (γ). Die Winkelsumme ist immer 180°, und jede Seite ist kürzer als die beiden anderen zusammen (Dreiecksungleichung).

Kosinussatz: a² = b² + c² − 2bc · cos α. Er liefert die dritte Seite (SWS) oder aus drei Seiten die Winkel (SSS). Sinussatz: a / sin α = b / sin β = c / sin γ. Er liefert bei zwei Winkeln und einer Seite (WSW, SWW) die übrigen Seiten.

SSW ist mehrdeutig: Liegt der Winkel der kürzeren Seite gegenüber, gehören zu sin β zwei Winkel (β und 180° − β); es gibt dann zwei Dreiecke, eines oder keines. Im rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras a² + b² = c²; die Winkel folgen aus sin α = a / c, cos α = b / c und tan α = a / b.

Fläche: A = ½ · b · c · sin α; Höhen: h = 2A / Seite; Inkreis r = 2A / u; Umkreis R = a / (2 sin α).